Как часто встречаются счастливые билеты?

[alexey_donskoy]

Есть ли у вас знакомые, которые никогда бы не считали сумму цифр на билетах?
А некоторые даже их собирают!
Как только начнёшь на цифры обращать внимание - заметишь, что попадаются счастливые комбинации подозрительно часто.
А как часто? Что говорит математика?

Оказывается, совпадение суммы цифр слева и справа действительно встречается часто.
Всего на весь диапазон номеров от 0 до 999999 приходится 55252 счастливых.
То есть в среднем каждый 18-й билет может вас обрадовать!
Но распределены они во всём диапазоне неравномерно:



Меньше всего повезло первой тысяче - тут всего один счастливый номер - 000000! :)
В первом десятке тысяч счастливым является каждый 45-й номер, а в первой сотне тысяч - каждый двадцатый.

А что можно сказать про одинаковые и симметричные половинки? Вот такие:



Легко сообразить, что их по одному на каждую тысячу: один вида 123321 и ещё один вида 123123.
Кому не лениво, можете подсчитать и другие - с одинаковым, но переставленными цифрами:

123123 (про эти уже говорили)
123132
123213
123231
123312
123321 (про эти уже говорили)

Однако шесть номеров с одинаковыми цифрами встречаются не для любых цифр, а только для разных.
Если две цифры слева будут одинаковы, то комбинаций меньше, всего три:

112112
112121
112211


А счастливый билет трамвая в Казани вам уже показывал? Вот он:



Трамвай идёт медленно, часто не по магистральным улицам, а чуть ли не по дворам, и потому удобен для ряда мест.
Но в нём, конечно, холодно. Хотя сидения почему-то очень тёплые, уж не с подогревом ли электрическим? :)

Да, и именно из трамвая я фотографировал Метеор перед речным техникумом.
И на этом трамвае приехал я на казанский конвент "Зиланткон", кто ещё не видел! :)

Comments

[mr-simm.livejournal.com]

> Хрень там в Википедии написана какая-то.

Какая?

> Или кто-то что-то не так понял.

Я лишь описал, как меня в детстве учили счастливый билет определять, естесственно, в том возрасте о делении речи ещё не было ;)

[alexey_donskoy]

Про остаток от деления. Делить на 10 нужно, а не на 9. Потому что десятичная система счисления используется.
Собственно, это деление нужно для выделения цифры младшего разряда.
Если возьмёшь 19 mod 10 - получится 9, что нам и надо. Если 19 mod 9 - будет 1 (ибо 19=2*9+1, то есть 21 в 9-ричной системе счисления).

[mr-simm.livejournal.com]

> Если возьмёшь 19 mod 10 - получится 9, что нам и надо.

В том-то и дело, что нам надо не 9, а 1 ;)

[alexey_donskoy]

Что за?
Был номер 919. Выделили цифры поразрядно при помощи деления и остатка (по модулю 10, разумеется). Сложили цифры: 9+1+9=19.
Повторили: 1+9=10. И т.д.
Где деление на 9?

[mr-simm.livejournal.com]

Вспоминайте признак делимости числа на 9…

[alexey_donskoy]

Мы выделяем разряды и складываем, выделяем и складываем...
Причём тут признаки делимости на 9? Зачем? Для чего?

[mr-simm.livejournal.com]

Можно не выделять и не складывать – достаточно сравнить остатки от деления на 9, помня об исключении в виде 000.

[alexey_donskoy]

Ну так в признаке делимости на 9 как раз поразрядная сумма цифр и вычисляется :)
Вообще прикольный признак, не знал про такой.
Конечно, можно тогда повысить эффективность расчёта до одной команды mod.

[mr-simm.livejournal.com]

Именно, Кэп ;)

[mr-simm.livejournal.com]

> не знал про такой

В школе вроде давали на уроках математики.

[alexey_donskoy]

Угу. 33 года с выпуска прошло, овер 40 - с арифметики. Щас точно вспомню! ;)
Да и не было такого совсем, кажись.

[mr-simm.livejournal.com]

Эх, найти бы сканы тех учебников :)
Кстати по теме нашёл подборку – http://ega-math.narod.ru/Quant/Tickets.htm
Ну и уж совсем для математегов – http://mccme.ru/free-books/matpros/i3127132.pdf.zip :D

[alexey_donskoy]

Где-то в сарае можно найти за старшие классы. Но это уже не та тема...